la teoría de la doble solución Louis de BROGLIE

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Annales de la Fondation Louis de Broglie, Volume 12, no.4, 1987 Anales de la Fundación Louis de Broglie, Volumen 12, no.4, 1987 1 1 Interpretation of quantum mechanics Interpretación de la mecánica cuántica by the double solution theory por la teoría de la doble solución Louis de BROGLIE Louis de Broglie EDITOR’S NOTE. NOTA DEL EDITOR. In this issue of the Annales, we are glad to En esta edición de los Anales, nos complace present an English translation of one of Louis de Broglie’s latest presentar una traducción al Inglés de una de Louis de Broglie la última articles, as a kind of gift to all physicists abroad who are not artículos, como una especie de regalo a todos los físicos que no están en el extranjero well acquainted with the double solution theory, or do not read así familiarizarse con la doble solución de la teoría, o no leer French. Francés. Louis de Broglie of course wrote the original paper Louis de Broglie, por supuesto, escribió el documento original 1 1 in en his mother tongue, which he mastered with utmost elegance, su lengua materna, que domina con la máxima elegancia, but perhaps considering it as his last word on Wave Mechanics, pero tal vez considerar que es como su última palabra en la onda mecánica, he expressed the wish to see it also published in English. expresó el deseo de que se publicó también en Inglés. The translator, our friend Maurice Surdin, tried to re- El traductor, nuestro amigo Maurice Surdin, trató de re - main as close as possible to the French text, which was by principal lo más cerca posible al texto en francés, que fue por no means an easy task, and unavoidably the result will there- no es una tarea fácil, e inevitablemente, el resultado, por tanto, fore appear a bit awkward in style, but it surely does convey antes de aparecer un poco torpe en estilo, pero seguramente no transmitir the precise physical meaning, and most importantly, the spirit precisa el significado físico, y lo más importante, el espíritu of Louis de Broglie’s work. Louis de Broglie de su trabajo. Following this closeness require- A raíz de esta cercanía requisitos ment, the peculiar mathematical notations used by the author ción, la peculiar notación matemática utilizada por el autor have been kept unaltered, even though somewhat unusual, or se han mantenido sin alteraciones, aunque algo inusual, o slightly old-fashioned. un poco anticuado. Our readers will nevertheless appreciate Nuestros lectores se aprecian, sin embargo, the deep physical insight expressed in this tentative theory of el profundo conocimiento físico en esta teoría de la tentativa wave-particle dualism, a major problem unsolved to everyone’s dualismo onda-partícula, un problema importante sin resolver para todos satisfaction. satisfacción. Historically, Einstein was the one who started all the Históricamente, Einstein fue el que inició todo el trouble in 1905, with the introduction of this wave-particle problemas en 1905, con la introducción de esta onda-partícula dualism in radiation theory. dualismo en la teoría de la radiación. Louis de Broglie did not ease the Louis de Broglie no facilitar la pressure in theoretical physics when he later on extended the presión en la física teórica, cuando más tarde amplió el puzzling dualism to every entity of Universe, not only photons, desconcertante dualismo a cada entidad del Universo, no sólo los fotones, but also electrons, atoms, molecules, etc. And he was right, sino también a los electrones, los átomos, las moléculas, etc, y tenía razón, that is the way things work, and physicists have to accept facts, que es la forma en que las cosas funcionen, y los físicos tienen que aceptar los hechos, however upsetting. Sin embargo, inquietante. 1 1 Foundations of Quantum Mechanics - Rendiconti della Scuola Internazio- Fundamentos de la Mecánica Cuántica - Rendiconti della Scuola Internazio - nale di Fisica “Enrico Fermi”, IL Corso, B. d’Espagnat ed. nale di Fisica "Enrico Fermi", IL Corso, B. d'Espagnat ed. Academic Press Academic Press NY1972 NY1972
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2 2 L. de Broglie L. de Broglie But Louis de Broglie, as he explains in the first lines of Sin embargo, Louis de Broglie, como explica en las primeras líneas de his article, was a realist, and he could not believe observable su artículo, era un realista, y no podía creer observables physical phenomena to only follow from abstract mathematical fenómenos físicos que se derivan de sólo matemática abstracta wave-functions. funciones de onda. Somehow, these latter had to be connected De alguna manera, estos países tenían que estar conectado to real waves, at variance with the prevailing Copenhagen a ondas reales, a diferencia con las Copenhague interpretation, and with his keen sense for physics, Louis de interpretación, y con su agudo sentido de la física, Louis de Broglie did find a way out of the maze ! Broglie no encontrar una salida al laberinto! So here is a realistic view of Wave Mechanics ... Así que aquí es una visión realista de Mecánica de la onda ... at the en la highest level, and by its very discoverer. más alto nivel, y por su descubridor. I. The origin of Wave Mechanics I. El origen de la onda mecánica When in 1923-1924 I had my first ideas about Wave Mechanics [1] En 1923-1924, cuando tuve mis primeras ideas sobre la mecánica de onda [1] I was looking for a truly concrete physical image, valid for all particles, Estaba buscando una verdadera imagen física concreta, válida para todas las partículas, of the wave and particle coexistence discovered by Albert Einstein in his de la ola y la coexistencia de partículas descubierto por Albert Einstein en su “Theory of light quanta”. "Teoría de los cuantos de luz". I had no doubt whatsoever about the physical Yo no tenía duda alguna acerca de la física reality of waves and particles. realidad de las ondas y partículas. To start with, was the following striking remark : in relativity Para empezar, fue la siguiente observación sorprendente: en la relatividad theory, the frequency of a plane monochromatic wave is transformed as teoría, la frecuencia de una onda plana monocromática se transforma en ν = ν ν = ν 0 0 / / √ √ 1 − β 1 - β 2 2 whereas a clock’s frequency is transformed according mientras que la frecuencia de un reloj se transforma según to a different formula : ν = ν a otra fórmula: ν = ν 0 0 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 ( β = v/c ). (Β = v / c). I then noticed that Entonces notó que the 4-vector defined by the phase gradient of the plane monochromatic el 4-vector definido por el gradiente de la fase de avión monocromático wave could be linked to the energy-momentum 4-vector of a particle by onda podría estar vinculado a la energía-4-vector de impulso de una partícula por introducing h , in accordance with Planck’s ideas, and by writing : h introducir, de conformidad con las ideas de Planck, y por escrito: W = hν W = hν p = h/λ p = h / λ (1) (1) where W is the energy at frequency ν , p the momentum, and λ the donde W es la energía en la frecuencia ν, p el impulso, y λ la wavelength. longitud de onda. I was thus led to represent the particle as constantly Estaba, pues, para representar a las partículas en constante localized at a point of the plane monochromatic wave of energy W , localizado en un punto del plano de la energía de onda monocromáticas W, momentum p , and moving along one of the rectilinear rays of the wave. p impulso, y se desplazan a lo largo de uno de los rayos rectilíneos de la ola. However, and this is never recalled in the usual treatises on Wave Sin embargo, y esto nunca se recuerda en los habituales tratados de onda Mechanics, I also noticed that if the particle is considered as containing La mecánica, también observaron que si las partículas se considera que contienen a rest energy M un resto de energía H 0 0 c c 2 2 = hν = Hν 0 0 it was natural to compare it to a small era natural para comparar a un pequeño clock of frequency ν reloj de la frecuencia ν 0 0 so that when moving with velocity v = βc , its de manera que cuando se desplaza con velocidad v = βc, su frequency different from that of the wave, is ν = ν frecuencia diferente a la de la ola, es ν = ν 0 0 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 . . I had then Tenía entonces easily shown that while moving in the wave, the particle had an internal fácilmente de manifiesto que mientras se mueve en la onda, la partícula interior había un vibration which was constantly in phase with that of the wave. las vibraciones que fue constantemente con que en la fase de la onda. The presentation given in my thesis had the drawback of only La presentación que figura en mi tesis tenía el inconveniente de sólo applying to the particular case of a plane monochromatic wave, which aplicación al caso particular de una onda plana monocromática, que
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Interpretation of quantum mechanics Interpretación de la mecánica cuántica ... ... 3 3 is never strictly the case in nature, due to the inevitable existence of nunca es estrictamente el caso en la naturaleza, debido a la inevitable existencia de some spectral width. algunos anchura espectral. I knew that if the complex wave is represented by Sabía que si el complejo está representado por las olas a Fourier integral, ie by a superposition of components, these latter una integral de Fourier, es decir, por una superposición de los elementos, estos últimos only exist in the theoretician’s mind, and that as long as they are not sólo existen en el teórico de la mente, y que mientras no se separated by a physical process which destroys the initial superposition, separados por un proceso físico que destruye la superposición inicial, the superposition is the physical reality . la superposición es la realidad física. Just after submitting my thesis, Justo después de la presentación de mi tesis, I therefore had to generalize the guiding ideas by considering, on one Por lo tanto, ha de generalizar las ideas por medio de la orientación teniendo en cuenta, por un hand, a wave which would not be plane monochromatic, and on the parte, una ola que no sería plano monocromático, y sobre la other hand, by making a distinction between the real physical wave of otra parte, haciendo una distinción entre la realidad física de las olas my theory and the fictitious ψ wave of statistical significance, which was mi teoría y la ficticia ψ ola de significación estadística, que se arbitrarily normed, and which following Schrodinger and Bohr’s works arbitrariamente normativa, y que después de Schrodinger y la obra de Bohr was starting to be systematically introduced in the presentation of Wave estaba empezando a ser introducido sistemáticamente en la presentación de la onda Mechanics. Mecánica. My arguments were presented in Journ. Mis argumentos fueron presentados en Journ. de Phys. de Phys.. May 1927 De mayo de 1927 [2], and titled : “The double solution theory, a new interpretation of [2], y titulado: "La doble solución de la teoría, una nueva interpretación de Wave Mechanics”. Ola Mecánica ". It contained a generalization of a particle’s motion Contenía una generalización de una partícula de movimiento law for the case of any wave ; this generalization was not considered at ley para el caso de cualquier onda, esta generalización no se consideró en the start in the particular case of a plane monochromatic wave. el inicio en el caso particular de un avión de onda monocromáticas. Contemplating the success of Quantum Mechanics as it was de- Contemplar el éxito de la Mecánica Cuántica, ya que se de - velopped with the Copenhagen School’s concepts, I did for some time velopped con la Escuela de Copenhague de conceptos, lo hice durante algún tiempo abandon my 1927 conceptions. abandonar mi concepciones 1927. During the last twenty years however, I Durante los últimos veinte años, sin embargo, have resumed and greatly developed the theory. se han reanudado y desarrollado en gran medida la teoría. II. II. The double solution theory and the guidance rule La doble solución de la teoría y la regla de orientación I cannot review here in detail the present state of the double No puedo examinar aquí en detalle el estado actual de la doble solution theory. solución de la teoría. A complete presentation may be found in the referenced Una presentación completa se puede consultar en las referencias publications. publicaciones. However I would like to insist on the two main and basic Sin embargo me gustaría insistir en los dos principales y básicas ideas of this interpretation of Wave Mechanics. ideas de esta interpretación de la onda mecánica. A/- In my view, the A / - En mi opinión, la wave is a physical one having a very small amplitude which cannot ola es una física muy pequeña con una amplitud que no pueden be arbitrarily normed, and which is distinct from the ψ wave. ser arbitrariamente normativa, y que es distinta de la onda ψ. The El latter is normed and has a statistical significance in the usual quantum Esto último es normativa y tiene una significación estadística de la forma habitual cuántica mechanical formalism. formalismo mecánico. Let v denote this physical wave, which will be Vamos v denotan esta ola física, que se connected with the statistical ψ wave by the relation ψ = Cv , where relacionados con la estadística por la onda ψ relación ψ = Cv, cuando C is a normalizing factor. C es un factor de normalización. The ψ wave has the nature of a subjective La ola ha ψ la naturaleza subjetiva de un probability representation formulated by means of the objective v wave. probabilidad de representación formulada por medio de la onda v objetivo. This distinction, essential in my opinion, was the reason for my naming Esta distinción, fundamental en mi opinión, fue la razón de mi denominación the theory “Double solution theory”, for v and ψ are thus the two la teoría del "doble solución de la teoría", para v y ψ son los dos solutions of the same wave equation. soluciones de la misma ecuación de onda. B/- For me, the particle, precisely B / - Para mí, la partícula, precisamente located in space at every instant, forms on the v wave a small region of situado en el espacio a cada instante, las formas de onda en la v una pequeña región de high energy concentration, which may be likened in a first approximation, alta concentración de energía, que pueden ser asimilados en una primera aproximación,
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4 4 L. de Broglie L. de Broglie to a moving singularity. se desplazan a una singularidad. Considerations which will be developed further Consideraciones que se desarrollará aún más on, lead to assume the following definition for the particle’s motion : en, a asumir la siguiente definición para el movimiento de la partícula: if the complete solution of the equation representing the v wave (or if si la solución completa de la ecuación que representa la onda v (o si prefered, the ψ wave, since both waves are equivalent according to the preferido, el ψ ola, olas, ya que ambos son equivalentes según la ψ = Cv relation) is written as : ψ = Cv relación) se escribe como: v = a ( x, y, z, t ) .exp v = a (x, y, z, t). exp ( ( i i φ ( x, y, z, t ) φ (x, y, z, t) ) ) = h/ 2 π = H / 2 π (2) (2) where a and φ are real functions, energy W and momentum p of the donde una y φ son funciones reales, W de energía y el impulso de la p particle, localized at point x, y, z, at time t , are given by : de partículas, localizado en el punto x, y, z, en el tiempo t, se dan por: W = W = ∂φ ∂ φ ∂t ∂ T p = − p = -- −−→ - → grad φ grad φ (3) (3) which in the case of a plane monochromatic wave, where one has que en el caso de un avión monocromático ola, donde se tiene φ = h φ = h ( ( νt − νt -- αx + βy + γz αx + βy + γz λ λ ) ) yields eq. rendimientos eq. (1) for W and p . (1) para W y p. If in eq. Si en el eq. (3) W and p are given as (3) p W y se ofrecen como W = W = M M 0 0 c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 p = p = M M 0 0 v v √ √ 1 − β 1 - β 2 2 one gets : recibe un: v = v = c c 2 2 p p W W = −c -C = 2 2 −−→ - → grad φ grad φ ∂φ/∂t ∂ φ / ∂ T (4) (4) I called this relation, which determines the particle’s motion in the wave, Llamé a esta relación, que determina el movimiento de la partícula en la ola, “the guidance formula”. "La orientación fórmula". It may easily be generalized to the case of an Puede ser fácilmente generalizado para el caso de un external field acting on the particle. externos que actúan en el campo de partículas. Now, going back to the origin of Wave Mechanics, will be introduced Ahora, volviendo al origen de la onda mecánica, se introducirán the idea according to which the particle can be likened to a small clock la idea según la cual las partículas que pueden compararse con un pequeño reloj of frequency ν de la frecuencia ν 0 0 = M = M 0 0 c c 2 2 /h , and to which is given the velocity of eq. / h, así como a los que se da la velocidad de eq. (4). (4). For an observer seeing the particle move on its wave with velocity βc , Para un observador de ver pasar la partícula en su onda con la velocidad βc, the internal frequency of the clock is ν = ν interior de la frecuencia de reloj es ν = ν 0 0 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 according to the de acuerdo con la relativistic slowing down of moving clocks. relativista ralentización de los relojes en movimiento. As will be shown further on, Como se verá más adelante, it is easily demonstrated that in the general case of a wave which is not es fácil demostrar que en el caso general de una onda que no es plane monochromatic, the particle’s internal vibration is constantly in plano monocromático, las partículas del interior de la vibración es constante en
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Interpretation of quantum mechanics Interpretación de la mecánica cuántica ... ... 5 5 phase with the wave on which it is carried. fase con la onda en que se lleva. This result, including as a Este resultado, incluso como particular case that of the plane monochromatic wave first obtained, can caso particular de que el avión monocromático ola obtenido, puede be considered the main point of the guidance law. ser considerado el principal punto de la ley de orientación. As will be seen further on, it can easily be shown that the proper Como se verá más adelante, puede ser fácilmente demostrado que el buen mass M masa M 0 0 which enters the relation giving M and p is generally not equal que la relación entre M y P que generalmente no es igual to the proper mass m para el buen masa m 0 0 usually given to the particle. por lo general dado a la partícula. One has : Uno tiene: M M 0 0 = m = M 0 0 + Q + Q 0 0 /c / c 2 2 (5) (5) where, in the particle’s rest frame, Q cuando, en el resto de partículas del marco, Q 0 0 is a positive or negative variation of es una variación positiva o negativa de the rest mass. el resto de masa. The quantity Q La cantidad Q 0 0 is the “quantum potential” of the double es el "potencial enorme" de la doble solution theory. solución de la teoría. Its dependence on the variation of the wave function’s Su dependencia de la variación de la función de onda amplitude will be seen. amplitud se verá. III. III. Further study of the double solution theory Un estudio más detallado de la teoría doble solución Following the sketch of the double solution theory considered above, Tras el esbozo de la teoría de la doble solución examinado anteriormente, its fundamental equations will be hereafter developped starting with sus ecuaciones fundamentales en lo sucesivo, se desarrolló a partir de Schrodinger and Klein-Gordon’s wave equations, ie without introducing Schrodinger y Klein-Gordon de ecuaciones de ondas, es decir, sin introducir spin. tirada. The extension of what follows to spin 1 / 2 particles as the electron, La extensión de lo que sigue a girar 1 / 2 partículas como el electrón, and to spin 1 particles as the photon, may be found in books (3 a ) and 1 a girar y las partículas como el fotón, se pueden encontrar en los libros (3 a) y (3 b ). (3 b). The study will be limited to the case of the v wave following the El estudio se limita al caso de la ola después de la v non-relativistic Schrodinger equation, or the relativistic Klein-Gordon no relativista ecuación de Schrödinger, o el relativista de Klein-Gordon equation, which for the Newtonian approximation ( c → ∞ ) degenerates ecuación, que para la aproximación newtoniana (c → ∞) degenera to the Schrodinger equation. a la ecuación de Schrödinger. It is well known that an approximate representation of the wave proper- Es bien sabido que una representación aproximada de la onda adecuada - ties of the electron is obtained in this way. lazos de los electrones se obtiene de esta manera. First taking Schrodinger’s equation for the v wave, U being the En primer lugar, teniendo la ecuación de Schrodinger para la onda V, U es el external potential, one gets : externo potencial, se obtiene: ∂v ∂ v ∂t ∂ T = = 2 im 2 im ∆ v + Δ V + i i Uv Uv (6) (6) This complex equation implies that the v wave is represented by two real Esta compleja ecuación implica que la onda v está representado por dos reales functions linked by the two real equations, which leads to : funciones vinculadas por las dos ecuaciones reales, lo que conduce a: v = a. exp( iφ/ ) a. v = exp (iφ /) (7) (7) where a the wave’s amplitude, and φ its phase, are real. donde la ola de una amplitud y su fase φ, son reales. Taking this value Tomando este valor into eq. en eq. (6), readily gives : (6), da fácilmente: ∂φ ∂ φ ∂t ∂ T − U − - U -- 1 1 2 m 2 m ( ( −−→ - → grad φ ) grad φ) 2 2 = − = -- 2 2 2 m 2 m . . ∆ a Δ un a un (J) (J)
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6 6 L. de Broglie L. de Broglie ∂ ( a ∂ (a 2 2 ) ) ∂t ∂ T − -- 1 1 m m . div( a . Div (un 2 2 −−→ - → grad φ ) = 0 grad φ) = 0 (C) (C) For reasons which will further on become clear, equation ( J ) will be Por razones que aún más en claro, la ecuación (J) se called “Jacobi’s generalized equation”, and equation ( C ) the “continuity llamado "Jacobi la ecuación generalizada", y la ecuación (C), la "continuidad equation”. ecuación ". In order to get a relativistic form of the theory, Klein-Gordon’s A fin de conseguir una forma relativista de la teoría, Klein-Gordon equation is used for the v wave, which instead of eq. la ecuación se utiliza para la onda v, que en vez de eq. (6) gives : (6) da: ¯ ⊔v− ¯ ⊔ v - 2 i 2 i . . eV eV c c 2 2 . . ∂v ∂ v ∂t ∂ T + + 2 i e 2 i e c c ∑ Σ xyz xyz A Un x x ∂v ∂ v ∂x ∂ x + + 1 1 2 2 ( ( m m 2 2 0 0 c c 2 2 − -- e e 2 2 c c 2 2 ( V (V 2 2 − A - A 2 2 ) ) ) ) v = 0 (8) v = 0 (8) where it is assumed that the particle has electric charge e and is donde se supone que la partícula tiene carga eléctrica y electrónica acted upon by an external electromagnetic field with scalar potential actuar en consecuencia por un campo electromagnético con potencial escalar V ( x, y, z, t ) and vector potential A ( x, y, z, t ). V (x, y, z, t) y un potencial vector (x, y, z, t). Insertion of eq. Inserción de eq. (7) into eq. (7) en eq. (8) gives a generalized Jacobi equation (8) da una ecuación generalizada Jacobi ( J ) and a continuity equation ( C ) as follows : (J) y una ecuación de continuidad (C) de la siguiente manera: 1 1 c c 2 2 ( ( ∂φ ∂ φ ∂t ∂ T − eV - EV ) ) 2 2 − -- ∑ Σ xyz xyz ( ( ∂φ ∂ φ ∂x ∂ x + + e e c c A Un x x ) ) 2 2 = m = M 2 2 0 0 c c 2 2 + + 2 2 ¯ ⊔a ¯ ⊔ un a un = M = M 2 2 0 0 c c 2 2 (J’) (J) 1 1 c c 2 2 ( ( ∂φ ∂ φ ∂t ∂ T − eV - EV ) ) ∂a ∂ un ∂t ∂ T − -- ∑ Σ xyz xyz ( ( ∂φ ∂ φ ∂x ∂ x + + e e c c A Un x x ) ) ∂a ∂ un ∂x ∂ x + + a un 2 2 ¯ ⊔φ = 0 ¯ ⊔ φ = 0 (C’) (C) where on the right hand side of ( J ) was introduced a variable proper donde en el lado derecho de (J) se introdujo una variable adecuada mass M masa M 0 0 which is defined by : que se define por: M M 0 0 = = ( ( m m 2 2 0 0 + ( + ( 2 2 /c / c 2 2 ) ) ¯ ⊔a ¯ ⊔ un a un ) ) 1 / 2 1 / 2 (9) (9) this quantity, as will be seen further, is of great importance. esta cantidad, como se verá más, es de gran importancia. IV. IV. The guidance formula and the quantum potential La fórmula de la orientación y el potencial cuántico Let us now consider equations ( J ) and ( J ) corresponding to the Vamos a examinar ahora las ecuaciones (J) y (J), correspondiente a la non-relativistic Schrodinger, and relativistic Klein-Gordon equations. Schrodinger no relativista y relativista de Klein-Gordon ecuaciones. First taking Schrodinger’s equation and eq. En primer lugar, teniendo la ecuación de Schrodinger y eq. ( J ), if terms involving (J), si los términos que impliquen Planck’s constant h are neglected on the right hand side, which amounts La constante de Planck h se descuidan en el lado derecho, lo que equivale to disregard quanta, and if φ is set as φ = S , then eq. haciendo caso omiso de cuantos, y si se fija como φ φ = S, entonces eq. ( J ) becomes : (J) se convierte en: ∂S ∂ S ∂t ∂ T − U = - U = 1 1 2 m 2 m ( ( −−→ - → grad S ) grad S) 2 2 (10) (10)
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Interpretation of quantum mechanics Interpretación de la mecánica cuántica ... ... 7 7 As S is the Jacobi function, eq. Como S es la función Jacobi, eq. (10) is the Jacobi equation of (10) es la ecuación de Jacobi classical mechanics. la mecánica clásica. This means that only the term with Esto significa que sólo con el término 2 2 is responsible es responsable for the particle’s motion being different from the classical motion. para el movimiento de partículas de ser diferente de la clásica marcha. What Qué is the significance of this term ? es el significado de este término? It may be interpreted as another Puede ser interpretada como otra potential Q , distinct from the classical U potential, Q being given as : potencial Q, distinta de la clásica potencial U, Q está dado como: Q = − Q = -- 2 2 2 m 2 m . . ∆ a Δ un a un (11) (11) By analogy with the classical formulae ∂S/∂t = E , and p = − Por analogía con la clásica fórmula ∂ S / ∂ t = E, y p = -- −−→ - → grad S , grad S, E and p being the classical energy and momentum, one may write : E y P es el clásico y el impulso de energía, se puede escribir: ∂φ ∂ φ ∂t ∂ T = E = E − -- −−→ - → grad φ = p grad φ = p (12) (12) As in non-relativistic mechanics, where p is expressed as a function Al igual que en la mecánica no-relativista, donde p se expresa como una función of velocity by the relation p = mv , the following is obtained : de velocidad por la relación p = mv, se obtiene lo siguiente: v = p/m = − v = p / m = -- 1 1 m m −−→ - → grad φ grad φ (13) (13) This equation is called the “guidance formula” ; it gives the particle’s Esta ecuación se llama la "fórmula de orientación", que da a la partícula de la velocity, at position x, y, z , and time t , as a function of the local phase velocidad, en la posición x, y, z, y el tiempo t, en función de la fase local variation at this point. variación en este punto. It should be stressed that a and φ , the amplitude and phase of the Cabe destacar que uno y φ, la amplitud y la fase de la v wave, would exist if a minute region of very high amplitude, which is onda v, si existe un minuto de la región de muy alta amplitud, lo que es the particle, did not itself exist. la partícula, no existe en sí. At one’s preference, it may be said that En una de preferencia, se puede decir que a and φ are the amplitude and phase of the v wave, in direct proximity y un φ son la amplitud y la fase de la onda v, muy cerca of the pointlike region u de la región u pointlike 0 0 , of a wave defined by u = u , De una onda definida por u = u 0 0 + v . + V. I gave He dado justifications of the guidance formula, based on this idea. justificaciones de la orientación fórmula, sobre la base de esta idea. This problem Este problema will be reconsidered further on. será examinada de más adelante. The quantum force F = − La cuantía fuerza F = -- −−→ - → grad Q acting on the particle, bends its grad Q actúa sobre la partícula, se dobla su trajectory. trayectoria. However, in the important albeit schematic case of a plane Sin embargo, aunque importante en el esquema caso de un avión monochromatic wave, Q is constantly zero, and there is no quantum onda monocromáticas, Q es constante cero, y no hay cuántica force ; the particle moves with constant velocity along a rectilinear la fuerza, la partícula se mueve con velocidad constante a lo largo de una línea recta trajectory. trayectoria. This latter is one of the plane monochromatic wave’s rays ; Este último es uno de los plano de los rayos de onda monocromáticas; the image I had in mind while writing my thesis is thus found again. la imagen que tenía en mente al escribir mi tesis es, pues, encontrarse de nuevo. However, when the wave’s propagation is subject to boundary Sin embargo, cuando la propagación de la onda está sujeta a límite conditions, interference or diffraction phenomena do appear ; owing to condiciones, la interferencia o la difracción aparecen fenómenos, debido a
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8 8 L. de Broglie L. de Broglie the quantum force, the motion defined by the guidance formula is la cuantía vigente, la propuesta se define por la fórmula es la orientación not rectilinear any more. no rectilínea más. It then happens that the obstacles hindering A continuación, sucede que los obstáculos the propagation of the wave act on the particle through the quantum la propagación de la onda en el acto a través de la partícula cuántica potential, in this way producing a deflection. potencial, de esta manera producir una deformación. Supporters of the ancient Los partidarios de la antigua “emission theory” thought that light was exclusively formed of particles, "La teoría de emisión de" pensaba que la luz fue exclusivamente formado de partículas, and as they already knew that light may skirt around the edge of a screen, y tal y como ya sabía que la luz puede falda alrededor del borde de una pantalla, they considered this edge as exerting a force on the light particles which que examinó este extremo como ejercer una fuerza sobre las partículas de la luz que happened to pass in its neighbourhood. sucedido a pasar en su barrio. Under a more elaborate form, En virtud de una forma más elaborada, here again we find a similar idea. aquí de nuevo nos encontramos con una idea similar. Let us now consider Klein-Gordon’s equation and eq. Vamos a examinar ahora Klein-Gordon y la ecuación de eq. ( J ). (J). It may first be noticed, that neglecting terms in Puede ser notado, que la falta de atención en términos 2 2 in eq. en eq. ( J ) gives : (J) ofrece: 1 1 c c 2 2 ( ( ∂S ∂ S ∂t ∂ T − eV - EV ) ) 2 2 − -- ∑ Σ xyz xyz ( ( ∂S ∂ S ∂x ∂ x + eA + EA x x ) ) 2 2 = m = M 2 2 0 0 c c 2 2 (14) (14) As should be expected in relativistic mechanics without quanta, Como cabe esperar en la mecánica relativista sin quanta, this equation is Jacobi’s equation for a particle of proper mass m esta ecuación es la ecuación de Jacobi para una partícula de masa m buen 0 0 and y electric charge e , moving in an electromagnetic field with scalar and carga eléctrica e, moviendo en un campo electromagnético y con escalar vector potentials respectively V and A . vectores potenciales de V y A, respectivamente. Keeping the terms in Mantenimiento de las condiciones en 2 2 and y considering the proper mass M teniendo en cuenta el buen masa M 0 0 as defined in eq. tal como se definen en eq. (9) naturally leads to : (9) lleva naturalmente a: M M 0 0 c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 = = ∂φ ∂ φ ∂t ∂ T − eV - EV M M 0 0 v v √ √ 1 − β 1 - β 2 2 = − ( = - ( −−→ - → grad φ + eA ) grad φ + EA) (15) (15) with β = v/c , which in turn leads to the relativistic guidance formula : con β = v / c, que a su vez conduce a la fórmula relativista de orientación: v = −c v = c - 2 2 −−→ - → grad φ + eA grad φ + EA ∂φ/∂t − eV ∂ φ / ∂ t - eV (16) (16) For the Newtonian approximation, with A = 0 and Newton para la aproximación, con A = 0 y ∂φ ∂ φ ∂t ∂ T −eV -EV ∼ ~ = m = M 0 0 c c 2 2 , , eq. eq. (13) is obtained as it should. (13) se obtiene como debería. Here, the quantum force results from the variation of the M En este caso, la cuantía de la fuerza de los resultados la variación de la M 0 0 c c 2 2 quantity, as the particle moves in its wave. cantidad, ya que la partícula se mueve en su onda. In the case of a plane En el caso de un avión monochromatic wave, for the quantum potential to be constantly zero, monocromática de onda, por la cuantía potencial de ser constantemente cero, one writes : uno escribe: Q = M Q = H 0 0 c c 2 2 − m - M 0 0 c c 2 2 (17) (17)
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Interpretation of quantum mechanics Interpretación de la mecánica cuántica ... ... 9 9 For the non-relativistic approximation, with c → ∞ and ¯ ⊔a Para la aproximación no relativista, con c → ∞ y una ⊔ ¯ ∼ ~ = − ∆ a , = - Δ uno, the following value is reached : el valor siguiente se llega a: Q = Q = √ √ m m 2 2 0 0 c c 4 4 + c + C 2 2 2 2 ¯ ⊔a ¯ ⊔ un a un − m - M 0 0 c c 2 2 ∼ ~ = − = -- 2 2 2 m 2 m 0 0 . . ∆ a Δ un a un The above relativistic relations are most important for what follows, Las relaciones relativistas son más importantes para lo que sigue, because Wave Mechanics is an essentially relativistic theory, as I percei- porque la onda mecánica es esencialmente una teoría relativista, como ya he percei - ved at its beginning ; Schrodinger’s equation, being non-relativistic, is ved en su principio; la ecuación de Schrodinger, al ser no-relativista, se improper to reveal its true nature. inadecuado para revelar su verdadera naturaleza. V. Interpretation of the motion guidance V. Interpretación de la propuesta de orientación Two important characteristics of the motion guidance will now Dos características importantes de la propuesta de orientación ahora be stressed. se destacó. The first one is that the particle moving on its wave, is La primera es que la partícula en movimiento en su onda, es essentially in phase with it. esencialmente en la fase de la misma. To prove this, suppose first that no other than Para probar esto, supongamos en primer lugar, que no es más que the quantum force acts on the particle, which is equivalent to making la cuantía fuerza actúa sobre la partícula, lo que equivale a hacer V = A = 0 in the Klein-Gordon equation. V = A = 0 en la ecuación de Klein-Gordon. If one moves along the guiding Si uno se mueve a lo largo de la guía trajectory by a distance dl in time dt , the corresponding phase variation trayectoria por una distancia dL en el tiempo dt, la variación correspondiente fase of the wave is : de la onda es: dφ = dφ = ∂φ ∂ φ ∂t ∂ T dt + dt + ∂φ ∂ φ ∂l ∂ l dl = dl = ( ( ∂φ ∂ φ ∂t ∂ T + v. + C. −−→ - → grad φ grad φ ) ) dt dt dφ = dφ = ( ( M M 0 0 c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 − -- M M 0 0 v v 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 ) ) dt = ( M dt = (M 0 0 c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 ) dt ) Dt (18) (18) When the particle of internal frequency ν Cuando las partículas del interior de la frecuencia ν 0 0 = M = M 0 0 c c 2 2 /h , has moved a / h, se ha desplazado una distance dl during dt , its internal phase φ distancia dl durante dt, su interior fase φ i i has changed by : ha cambiado por: dφ dφ i i = M = M 0 0 c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 .dt = dφ . dt = dφ (19) (19) The particle when in motion on its wave, thus has its vibration Cuando la partícula en movimiento en su onda, por lo tanto, tiene su vibración 2 2 constantly in phase with that of the wave. constantemente en la primera fase con la de la ola. This result may be interpreted by noticing that, in the present Este resultado puede ser interpretado por notar que, en el presente theory, the particle is defined as a very small region of the wave where teoría, las partículas se define como una región muy pequeña de la ola que the amplitude is very large, and it therefore seems quite natural that the la amplitud es muy grande, y por lo tanto, parece bastante natural que la 2 2 defined by a definido por una i i exp ( i.φ exp (i.φ i i / ) with a /), Con un i i and φ y φ i i real. real.
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10 10 L. de Broglie L. de Broglie internal motion rythm of the particle should always be the same as that ritmo de movimiento interno de la partícula debe ser siempre el mismo que el of the wave at the point where the particle is located. de la onda en el punto donde se encuentra la partícula. A very important point must be underlined here. Un punto muy importante, hay que subrayar aquí. For this interpre- Por esta interpretación tation of the guidance to be acceptable, the dimensions of the minute ción de la orientación para ser aceptables, las dimensiones de los minutos singular region constituting the particle ought to be very small compared singular de partículas que constituyen la región debería ser muy reducido en comparación to the wavelength of the v wave. a la longitud de onda de la onda v. It might be considered that the whole Podría considerarse que todo el theory has its validity limited to very short wavelengths, ie very high teoría tiene su validez se limita a longitudes de onda muy corta, es decir, muy alto energies. energías. This remark has little importance for usually considered cases, Esta observación tiene poca importancia para los casos considerados por lo general, but may become of primary importance for very high energies. pero podrían ser de importancia primordial para muy altas energías. The foregoing demonstration may be extended to the case in which La demostración anterior podrá ampliarse a los casos en que V and A are not zero in Klein-Gordon’s equation. V y A no son cero en Klein-Gordon de la ecuación. The phase concordance La fase de concordancia of wave and particle is still expressed by : de onda y de partículas es todavía expresada por: ( ( ∂φ ∂ φ ∂t ∂ T + v. + C. −−→ - → grad φ grad φ ) ) dt = dt = dφ dφ i i dt dt .dt . dt (20) (20) Let hν Vamos hν 0 0 = ∂φ/∂t = ∂ φ / ∂ T 0 0 = M = M 0 0 c c 2 2 + eV + EV 0 0 = M = M 0 0 c c 2 2 , and thus, M Y, por lo tanto, H 0 0 c c 2 2 = = M M 0 0 c c 2 2 + eV + EV 0 0 in the particle’s proper frame, where it is momentarily at en el marco adecuado de partícula, en el que está momentáneamente en rest. resto. On the other hand : Por otro lado: dφ dφ dt dt = hν = = = Hν hν hν 0 0 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 = = M M 0 0 c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 ∂φ ∂ φ ∂t ∂ T = hν = Hν i i = hν = Hν 0 0 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 = M = M 0 0 c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 (21) (21) eq. eq. (20) is therefore obtained. (20) se obtiene. There is another characteristic of the guided motion. The motion is Hay otra característica de la guía de movimiento. La propuesta es performed according to relativistic dynamics of a variable proper mass. realizará con arreglo a la dinámica relativista de una variable adecuada masa. To prove this, in absence of classical fields, the following Lagrange Para demostrar esto, en ausencia de los campos clásicos, los siguientes Lagrange function is considered función se considera L = −M L =-M 0 0 c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 (22) (22) The least action principle δ El principio de acción menos δ ∫ ∫ L dt = 0 yields the Lagrange equa- L = 0 dt rendimientos la ecuación de Lagrange tions : ciones: d d dt dt ( ( ∂L ∂ L ∂ ˙ q ∂ ˙ q i i ) ) = = ∂L ∂ L ∂q ∂ q i i (23) (23) which in the present case is : que en el presente caso es el siguiente: dp dp dt dt = −c -C = 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 −−→ - → grad M grad M 0 0 (24) (24)
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Interpretation of quantum mechanics Interpretación de la mecánica cuántica ... ... 11 11 This shows that the particle obeys relativistic dynamics of a variable Esto demuestra que las partículas que obedece a la dinámica relativista de una variable proper mass. adecuado de masa. With the relativistic symmetry between space and time, eq. Con la relativista simetría entre el espacio y el tiempo, eq. (24) may be complemented by : (24) puede ser complementado por: dW dW dt dt = c = C 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 . . ∂M ∂ M 0 0 ∂t ∂ T (25) (25) and as dM y como dM 0 0 /dt = ∂M / dt = ∂ M 0 0 /∂t + v. / ∂ t + c. −−→ - → grad M grad M 0 0 , the preceding equations give : , La ecuación anterior da: dW dW dt dt − v. - C. ∂p ∂ p dt dt = c = C 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 . . dM dM 0 0 dt dt (26) (26) Keeping in mind that : Teniendo en cuenta que: v. c. dp dp dt dt = = d ( vp d (vp dt dt − p. - P. dv dv dt dt = = d d dt dt ( vp ) − (VP) -- M M 0 0 v v √ √ 1 − β 1 - β 2 2 . . dv dv dt dt c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 dM dM 0 0 dt dt = = d d dt dt ( M (M 0 0 c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 ) + ) + M M 0 0 v v √ √ 1 − β 1 - β 2 2 . . dv dv dt dt (27) (27) one obtains : se obtiene: d d dt dt ( W − vp − M (W - vp - M 0 0 c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 ) = 0 ) = 0 (28) (28) and as it was assumed that when the particle is at rest, β = 0, and y como se supone que cuando la partícula está en reposo, β = 0, y W = M W = H 0 0 c c 2 2 , there comes : , Llega: W = M W = H 0 0 c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 + vp = M Vp = M + 0 0 c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 + + M M 0 0 v v 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 (29) (29) This relation, obtained from the guidance dynamics of variable Esta relación, que se obtiene a partir de la orientación dinámica de la variable proper mass, is verified since W = M buen peso, se ha verificado desde W = H 0 0 c c 2 2 / / √ √ 1 − β 1 - β 2 2 , and as will be seen, , Y como se verá, has a remarkable thermodynamical significance. tiene una notable importancia termodinámico. The preceding argument may be generalized for the case where there El argumento anterior puede ser generalizado para el caso en que existe is an external electromagnetic field, by using the following Lagrange es un campo electromagnético externo, mediante las siguientes Lagrange function : función: L = −M L =-M 0 0 c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 + e ( V − Av/c ) = M + E (V - Av. / c) = M 0 0 c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 (30) (30) where the relativistic transformation V donde la transformación relativista V 0 0 = = V −vA/c V-VA / c √ √ 1 −β 1-β 2 2 was used. se utilizó.
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12 12 L. de Broglie L. de Broglie VI. VI. Interpretation of the continuity equations ( C ) and ( C ) Interpretación de las ecuaciones de continuidad (C) y (C) Let us consider the significance of equations ( C ) and ( C ), formely Veamos el significado de las ecuaciones (C) y (C), antiguamente derived in § III, and respectively corresponding to the non-relativistic derivados en el § III, y, respectivamente, correspondientes a la no-relativista Schrodinger, and relativistic Klein-Gordon equations. Schrodinger, y relativista de Klein-Gordon ecuaciones. First considering eq. En primer lugar considerar eq. ( C ) (C) ∂a ∂ un 2 2 ∂t ∂ T − -- 1 1 m m . div( a . Div (un 2 2 −−→ - → grad φ ) = 0 grad φ) = 0 (C) (C) using the guidance formula (4), and setting ρ = Ka utilizando la fórmula de orientación (4), y el establecimiento de ρ = Ka 2 2 , where K is a , Donde K es una constant, eq. constante, eq. ( C ) becomes : (C) se convierte en: ∂ρ ∂ ρ ∂t ∂ T + div( ρv ) = 0 + Div (ρv) = 0 (31) (31) In hydrodynamics, this equation is called the continuity equation. En hidrodinámica, esta ecuación se llama la ecuación de continuidad. ρdτ is the number of the fluid’s molecules in the volume element dτ , ρdτ es el número de las moléculas del líquido en el elemento de volumen dτ, and v is the velocity. y v es la velocidad. This equation may be written as D ( ρdτ ) /Dt = 0, Esta ecuación puede ser escrita como D (ρdτ) / Dt = 0, where the D/Dt derivative is taken along the motion of the molecules ; it donde D / Dt es derivado adoptadas a lo largo del movimiento de las moléculas, que expresses the conservation of the fluid. expresa la conservación del líquido. In the present case however, there En el presente caso, sin embargo, existe is a single particule, and it seems quite natural to consider the quantity es un solo Particule, y parece muy natural a considerar la cantidad ρdτ as proportional to the probability of finding the particle in the ρdτ como proporcional a la probabilidad de encontrar la partícula en el elementary volume dτ . volumen elemental dτ. As will be shown further on, this interpretation Como se verá más adelante, esta interpretación raises a problem if one assumes that the particle regularly follows plantea un problema si uno supone que la partícula sigue regularmente its guided trajectory, and this difficulty leads to complementing the guiado su trayectoria, y esta dificultad conduce a complementar el guidance theory, as it was developed above, by introducing a random la teoría de orientación, ya que se desarrolló anteriormente, mediante la introducción de una palabra al azar element, which will open up new vistas. elemento, lo que abrirá nuevas perspectivas. Without further insisting on this point, it is assumed that ρ = Sin más insistir en este punto, se supone que ρ = a un 2 2 ( x, y, z, t ) multiplied by dτ gives, with a normalizing factor, the (X, y, z, t) multiplicado por dτ da, con un factor de normalización, la probability of finding the particle at time t , in the volume element probabilidad de encontrar la partícula en el tiempo t, en el elemento de volumen dτ , located at x, y, z . dτ, ubicado en x, y, z. We will have to define the statistical function Tendremos que definir la función estadística ψ as a function of the real v wave by the relation ψ = Cv , with C a ψ en función de la verdadera ola v por la relación ψ = Cv, con un C normalizing factor, and such that factor de normalización, y de tal manera que ∫ ∫ | ψ | | Ψ | 2 2 dτ = 1, so we are led to saying dτ = 1, lo que llevó a decir that | ψ | que | ψ | 2 2 dτ represents the considered probability’s absolute value of dτ considera representa la probabilidad del valor absoluto de finding the particle in dτ . la búsqueda de la partícula en dτ. Let us now examine eq. Examinemos ahora eq. ( C ) which corresponds to the relativistic (C), que corresponde a la relativista Klein-Gordon equation. Ecuación de Klein-Gordon. Multiplication by 2 a yields : Multiplicación por 2 a los rendimientos: 1 1 c c 2 2 ( ( ∂φ ∂ φ ∂t ∂ T − eV - EV ) ) ∂a ∂ un 2 2 ∂t ∂ T − ( - ( −−→ - → grad φ + eA/c ) grad φ + EA / c) −−→ - → grad a un grad 2 2 + a + A 2 2 + a + A 2 2 ¯ ⊔φ = 0 (C’) ¯ ⊔ φ = 0 (C)
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Interpretation of quantum mechanics Interpretación de la mecánica cuántica ... ... 13 13 ρ will here be defined by : ρ que aquí se define por: ρ = Ka Ka = ρ 2 2 ( ( ∂φ ∂ φ ∂t ∂ T − eV - EV ) ) (32) (32) With this definition, and by use of eq. Con esta definición, y por el uso de eq. (16), which gives the guiding (16), lo que da la orientación velocity, and of the Lorentzian relation between potentials velocidad, y de la relación entre los potenciales Lorentzian 1 1 c c ∂V ∂ V ∂t ∂ T + + div A = 0, the continuity relation (31) is found again. div A = 0, la continuidad de la relación (31) se encuentra de nuevo. It may be assumed, with the same meaning as before, that whenever Cabe suponer, con el mismo significado que antes, que siempre que the relativistic Klein-Gordon wave equation is used, the quantity el relativista de Klein-Gordon ecuación de onda, se utiliza, la cantidad ρdτ = Ka ρdτ Ka = 2 2 ( ( ∂φ ∂ φ ∂t ∂ T − eV - EV ) ) dτ dτ gives the probability of finding the particle in the volume element dτ at da la probabilidad de encontrar la partícula en el elemento de volumen dτ en time t . el tiempo t. VII. VII. Introduction of the statistical ψ wave Introducción de la estadística de onda ψ Above, was only introduced the v wave, containing a very small Anteriormente, sólo se introdujo la onda v, que contiene una muy pequeña singular region, generally in motion, which constitutes the particle. singular región, generalmente en movimiento, lo que constituye la partícula. This Esto very small amplitude v wave, which is spread out over almost all the muy pequeña amplitud de onda v, que se extiende a lo largo de casi todas las domain occupied by the u wave, u = u dominio u ocupados por la ola, U = U 0 0 + v , u + V, u 0 0 here representing the aquí en representación de la high amplitude wave in this minute region, may be quite complex. alta amplitud de onda en este momento la región, puede ser bastante complejo. It defines the particle’s internal structure. Define la estructura interna de la partícula. We will not insist on No vamos a insistir en this point the study of which at the time being seems premature. este punto, el estudio de las cuales en el momento en que parece prematuro. It Ello looks quite natural that the propagation in space and time of the truly parece muy natural que la propagación en el espacio y el momento de la verdad physical v wave should determine, as was assumed in the guidance theory, física v ola debe determinar, como se suponía en la teoría de orientación, the particle’s motion, as it is integrated into the wave. del movimiento de las partículas, ya que está integrado en la ola. Just as well, the Así como así, la stationary states of the v wave, in systems such as the Hydrogen atom, estados estacionarios de la onda v, en sistemas como el átomo de hidrógeno, could determine the quantum states of that system. puede determinar la cuantía de los estados de dicho sistema. However, since the publication of Schrodinger’s works in 1926, it Sin embargo, desde la publicación de la obra de Schrodinger en 1926, que became customary to only consider the ψ wave, of arbitrarily normed se convirtió en habitual considerar sólo el ψ onda, de manera arbitraria normativa amplitude. amplitud. But this wave cannot be considered as a physical wave, Pero esta ola no se puede considerar como una onda física, first because the amplitude of a physical wave has a well determined en primer lugar porque la amplitud de una onda física tiene una determinada value, and cannot be arbitrarily normed, and because if ψ valor, y no puede ser arbitrariamente normativa, y porque si ψ 1 1 and ψ y ψ 2 2 are two particular normed solutions of the linear ψ wave, the ψ son dos soluciones de la normativa lineal ψ ola, el ψ 1 1 + ψ + Ψ 2 2 sum of these two solutions is not a normed solution. suma de estas dos soluciones no es una solución normativa. In other words, En otras palabras, the normed ψ wave is not endowed with the superposition property la normativa de onda ψ no es dotado de la superposición de propiedad
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14 14 L. de Broglie L. de Broglie characteristic of the physical wave solutions of a linear propagation característico de la física de una ola soluciones propagación lineal equation. ecuación. One is therefore led to consider the ψ wave as a probability Uno de ellos es, por tanto, condujo a considerar el ψ ola como una probabilidad representation, a simple prediction instrument, permitting a forecast of representación, un simple instrumento de predicción, lo que permite una previsión de the possible measurement results of physical quantities belonging to a los posibles resultados de las mediciones de las magnitudes físicas que pertenecen a un particle or to an ensemble of particles. de partículas o de un conjunto de partículas. It is however impossible for a Sin embargo, es imposible que un simple probability representation to create physical phenomena such as simple probabilidad de representación para crear fenómenos físicos tales como the local observation of a particle, or to impose definite values to energies la observación de una partícula, o de imponer valores definidos a energías of atomic stationary states. atómica de estados estacionarios. Objective reality only, may give such effects, Realidad objetiva sólo puede dar tales efectos, and a probability representation has no such character. y una probabilidad de representación no tiene tal carácter. It is nevertheless unquestionable that use of the ψ wave and its Sin embargo, es indiscutible que el uso de la ola y sus ψ generalization did lead to accurate prediction and fruitful theories. generalización hizo lugar a la predicción exacta y fructífera teorías. This Esto is an indisputable fact. es un hecho indiscutible. The situation is clarified by introducing together La situación se aclara mediante la introducción de juntas with the statistical ψ wave, the v wave, which being an objective physical ψ estadística con la ola, la onda v, que es un objetivo físico reality, may give rise to phenomena the statistical aspect of which is realidad, puede dar lugar a fenómenos de la estadística de los aspectos que se given by the ψ wave. dada por la onda ψ. It becomes important to establish the relationship Es importante establecer la relación between the ψ and v waves. entre la V y ψ olas. By means of a constant C , which may be complex, the required Por medio de una constante C, que puede ser compleja, el relation is introduced as : relación se presenta como: ψ = Cv = Ca exp( iφ/ ) ψ Ca = Cv = exp (iφ /) (33) (33) C is a normalizing factor such that C es un factor de normalización tal que ∫ ∫ V V | ψ | | Ψ | 2 2 dτ = 1, V denoting dτ = 1, V denota the volume occupied by the v wave. el volumen ocupado por la onda v. As seen in the preceding section, Como se observa en la sección anterior, where in Schrodinger’s theory, | ψ | en donde la teoría de Schrodinger, | ψ | 2 2 dτ gave the probability of finding dτ dio la probabilidad de encontrar the particle in the volume element dτ , the quantity | ψ | la partícula en el elemento de volumen dτ, la cantidad | ψ | 2 2 dτ gives the dτ da la absolute value of the probability, and this is the reason for introducing valor absoluto de la probabilidad, y esta es la razón para introducir the normed statistical ψ function in relation with the real v wave of eq. ψ la función normativa estadística en relación con la verdadera ola de v eq. (33). (33). One first remark about eq. Una primera observación acerca de eq. (33) is the following : as | ψ | = | C | a , and (33) es la siguiente: como | ψ | = | C | a, y as the phase of ψ cannot be different from that of v but for an additive como la fase de ψ no puede ser diferente de la de v, pero de un aditivo constant, the guidance formulae and the expression giving the quantum constante, la orientación y la expresión de fórmulas que la cuantía potential previously considered are indifferent to the substitution of v que antes se consideraban posibles son indiferentes a la sustitución de v by ψ . por ψ. Another remark is that | C | ought to be much larger than 1. Otra observación es que | C | debería ser mucho mayor que 1. Consider a quantity related to the particle whose value g is known. Considere la posibilidad de una cantidad relacionada con la g de partículas cuyo valor es conocido. The El current theory which only uses the ψ function, assumes this quantity la teoría actual, que sólo utiliza la función ψ, asume esta cantidad to be spread out over the whole wave with density | ψ | que se distribuyeron a lo largo de toda la onda con densidad | ψ | 2 2 dτ so that dτ para que ∫ ∫ | ψ | | Ψ | 2 2 dτ = g . dτ = g. In the double solution theory however, the quantity g En la doble solución de la teoría sin embargo, la cantidad g is certainly concentrated in a very small region occupied by the particle, es, sin duda, muy concentradas en una pequeña región ocupada por la partícula,
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Interpretation of quantum mechanics Interpretación de la mecánica cuántica ... ... 15 15 and the integral of a y la integral de una 2 2 g dτ taken over the v wave in the volume V is much g dτ asumido la onda v en el volumen V es mucho smaller than g , so that : g menor que, de forma que: ∫ ∫ V V a un 2 2 gdτ ≪ gdτ « ∫ ∫ V V | ψ | | Ψ | 2 2 gdτ gdτ (34) (34) which by use of eq. que por el uso de eq. (33) gives : (33) da: | C |≫ 1 | C | »1 (35) (35) This result may be interpretated by stating that the current statisti- Este resultado puede ser interpretated al afirmar que el actual esta - cal theory considers as spread out in the entire wave, devoid of singulari- cal teoría considera como extendido en toda la onda, sin singulari - ty, that which in reality is totally concentrated in the singularity. dad, lo que en realidad es totalmente concentrado en la singularidad. It is on Es en account of the foregoing interpretation that I simultaneously considered cuenta de lo anterior la interpretación que considera simultáneamente two distinct solutions of the wave propagation equation connected by dos soluciones de la ecuación de propagación de la onda conectados por eq. eq. (33), one, v , having physical reality, and the other, ψ , normed, and (33), una, v, tras la realidad física, y el otro, ψ, normativa, y of statistical character. de carácter estadístico. I therefore named this reinterpretation of wave Por lo tanto, esta reinterpretación de la llamada onda mechanics the double solution theory. mecánica de la doble solución de la teoría. By distinction of the two waves Por la distinción de las dos olas v and ψ , the mystery of the double character, subjective and objective, v y ψ, el misterio de la doble carácter subjetivo y objetivo, of the wave in the usual theory, vanishes, and one no longer has to gi- de la onda en la teoría habitual, desaparece, y uno ya no tiene que gi - ve a simple probability representation the strange property of creating ve a simple probabilidad representación la extraña propiedad de crear observable phenomena. fenómenos observables. Moreover, the distinction between the v and ψ waves leads to a new Además, la distinción entre la V y ψ ondas da lugar a un nuevo outlook on a large number of important problems such as the interpre- perspectivas sobre un gran número de importantes problemas tales como la inter - tation of interference phenomena, measurement theory, distant correla- ción de fenómenos de interferencia, la teoría de medición, distante correlación tions, definition of pure and mixed states, reduction of a probability wave ciones, la definición de estados puros y mixtos, la reducción de la probabilidad de una ola packet, etc. The results obtained during the last few years by Mr. An- paquetes, etc, los resultados obtenidos durante los últimos años por el Sr. An - drade e Silva and myself, show improved clarity and accuracy compared drade e Silva y en el mío, muestran una mayor claridad y precisión en comparación to the presently used theories. a las teorías actualmente utilizados. Without further insistence, it should be Sin más insistencia, se debe noted that Mr. Andrade e Silva has recently considered pure and mixed señaló que el Sr. Andrade e Silva, recientemente ha considerado pura y mixta states, so defining the corresponding statistical function ψ = Cv , which estados, por lo que la definición de la función estadística correspondiente ψ = Cv, que in some cases differs from the usual ψ function. en algunos casos, difiere de la habitual función ψ. VIII. VIII. Localization of the particle in the wave and the guidance Localiazación de la partícula en la ola y la orientación law Derecho Thusfar, the insertion of the particle in its wave was restrictively de- Hasta entonces, la inserción de la partícula en su onda era restrictiva de fined by stating that the real physical wave must include a small region multado por afirmar que la verdadera ola física debe incluir una pequeña región of very high amplitude, which is the particle. de muy alta amplitud, que es la partícula. Apart from this singu- Aparte de esta singu - lar region, the physical wave is the v wave, of very limited amplitude, región particular, la física de ondas es la onda v, de amplitud muy limitada,
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16 16 L. de Broglie L. de Broglie and satisfying the usual linear equation. y la satisfacción de la habitual ecuación lineal. As previously stated, it seems Como se ha señalado anteriormente, parece premature to try and describe the internal structure of this singular re- prematuro tratar de describir la estructura interna de esta singular re - gion, ie the particle. región, es decir, la partícula. This description will probably involve complicated Esta descripción probablemente complicado non-linear equations. ecuaciones no lineales. The problem that may be considered with some confidence, is the El problema que se puede considerar con cierta confianza, es el justification of the guidance law, by examining how the singular region la justificación de la orientación de la ley, mediante el examen de la forma en que la singular región should move in the regular wave surrounding it. debe avanzar en la onda periódica que lo rodea. Some years ago, I did Hace algunos años, hice present arguments justifying the guidance law presentar argumentos que justifican la ley de orientación 3 3 . . These are essentially Estas son esencialmente based on the way in which quantities respectively characterizing the sobre la base de la forma en que, respectivamente, cantidades que caracterizan el regular v wave and the internal u v regular las olas y el interior u 0 0 wave of the particle connect with the onda de la partícula conectar con el neighbourhood of the singular region. u el singular barrio de la región. u 0 0 would have to increase very tendrían que aumentar muy sharply as one penetrates the singular region. como uno penetra fuertemente singular región. These arguments present great similarity with those used by Ein- Estos argumentos presentes gran similitud con los utilizados por Ein - stein and his co-workers to justify in General Relativity the statement Stein y sus compañeros de trabajo para justificar la Relatividad General en la declaración that a material particle moves along a space-time geodesic. que una partícula material se mueve a lo largo de un espacio-tiempo geodésica. This pro- Este pro - blem, which concerned Einstein, has received a thorough solution from problema, que se refería Einstein, ha recibido una solución de fondo Darmois and Lichnerowicz. Darmois y Lichnerowicz. Their demonstration is based on the consi- Su demostración se basa en la conside - deration of a slender tube of Universe which in space-time represents deration de un delgado tubo del Universo que en el espacio-tiempo representa the particle’s motion. el movimiento de la partícula. They further say that there is a continuous link at También decir que hay una conexión continua a the periphery of the tube between the inside and the outside geodesics. de la periferia del tubo entre el interior y el exterior Geodésicas. Transposing this method to the double solution theory, it may be said Transposición de este método para la solución de la doble teoría, se puede decir that the particle moves in the internal space of a very slender tube, the que la partícula se mueve en el espacio interior de un tubo muy delgado, el walls of which are made up by an ensemble of the v wave’s stream lines, paredes de las cuales están compuestas por un conjunto de la onda v del flujo de las líneas, so defining a hydrodynamical flow. a fin de definir un flujo hydrodynamical. As these stream lines follow from the Dado que estas líneas de flujo de seguimiento de la velocity v of the guidance theory, the particle remains inside the tube velocidad v de la teoría de la orientación, la partícula permanece dentro del tubo during its motion, and the guidance law of the particle by the v wave durante su movimiento, y la ley de orientación de la partícula por la onda v results. resultados. In spite of the fact that the physical nature of the problems in A pesar del hecho de que la naturaleza física de los problemas en general relativity and double solution theory are different, the methods general de la relatividad y la teoría de la doble solución son diferentes, los métodos of demonstration are the same. de demostración son los mismos. Another more schematic way of approaching the problem exists Otro más esquemática forma de abordar el problema existe however. sin embargo. The particle is represented as a mathematical singularity inside La partícula se representa como una singularidad dentro de matemática the wave, and a solution to the wave equation, with moving singularity, la ola, y una solución a la ecuación de onda, con la singularidad en movimiento, is looked for. se busca. I gave an outline of this method in my Journ. Me dio un resumen de este método en mi Journ. de Phys. de Phys.. 1927 1927 article [2]. artículo [2]. I then showed that using Klein-Gordon’s equation, solutions Luego me mostró que el uso de Klein-Gordon de la ecuación, las soluciones might be found, having the phase of a plane monochromatic wave and a podrían encontrarse, después de la fase de una onda plana monocromática y una mobile singularity. móvil singularidad. It was important to generalize this result beyond the Es importante generalizar este resultado más allá de la particular case I have considered. caso particular, he considerado. The problem was studied by Francis El problema fue estudiado por Francis 3 3 See Ref. Véase ref. (3a) Chap. (3 bis) Cap. IX p. IX, p. 101 and appendix p. P. 101 y el apéndice 287. 287.
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Interpretation of quantum mechanics Interpretación de la mecánica cuántica ... ... 17 17 Fer in his doctorate thesis, and further extended by Thiounn in a series Fer en su tesis de doctorado, y prorrogado mediante Thiounn en una serie of articles [4]. de los artículos [4]. Thiounn has shown that in the case of Klein-Gordon’s Thiounn ha demostrado que en el caso de Klein-Gordon equation applying to 0 spin particles, as well as in the case of Dirac’s la aplicación de la ecuación a 0 spin partículas, así como en el caso de la Dirac equation applying to spin / 2 particles (electrons in particular), and la aplicación de la ecuación a girar / 2 partículas (electrones, en particular), y also in the case of Maxwell’s equation with terms representing mass también en el caso de la ecuación de Maxwell con términos que representan a la masa and applying to spin y aplicar para hacer girar particles (photons particularly), solutions exist partículas (fotones en particular), existen soluciones having a pointlike singularity moving according to the guidance law. pointlike singularidad con un movimiento de acuerdo con la ley de orientación. Representation of a particle by a simple singularity moving along the Representación de una partícula con un simple movimiento a lo largo de la singularidad wave is surely not a true picture of the particle’s structure, but only onda no es, sin duda, una imagen real de la partícula de la estructura, pero sólo a very schematic one. una muy esquemática. However, I consider Thiounn’s work as very Sin embargo, creo que la labor de la Thiounn como muy important, and as a remarkable confirmation of the guidance theory. importante, y como una notable confirmación de la teoría de orientación. IX. IX. The hidden thermodynamics of particles La termodinámica de las partículas oculto I will now present the main ideas of the hidden thermodynamics of Ahora voy a presentar las ideas principales de la termodinámica de la escondida particles, which I developed since 1960 [5] as an extension of the double partículas, que he desarrollado desde 1960 [5] como una extensión de la doble solution theory. solución de la teoría. The idea of considering the particle as a small clock naturally leads La idea de considerar la partícula como un pequeño reloj lleva naturalmente to look at the self energy M para ver la energía libre M 0 0 c c 2 2 as the hidden heat of the particle. como el calor ocultos de la partícula. From Desde this point of view, a small clock has in its proper system an internal este punto de vista, un pequeño reloj tiene en su interior un sistema adecuado periodic energy of agitation which does not contribute to momentum of periódico de la energía de agitación que no contribuye al impulso de the whole. el conjunto. This energy is similar to that of a heat-containing body in an Esta energía es similar a la de un calor que contienen en un organismo internal state of equilibrium. estado de equilibrio interior. The relativistic transformation formula for heat, known since Planck La fórmula relativista de transformación de calor, conocida desde Planck and von Laue’s works circa 1908, will be used here. y von Laue, las obras de alrededor de 1908, se utilizará aquí. If the heat content of Si el contenido de calor a body, in internal homogeneous equilibrium, is Q un cuerpo homogéneo en el interior de equilibrio, es Q 0 0 in its rest frame, in en el marco de su descanso, en another frame where the body has an ensemble velocity βc , the contained otro marco que el cuerpo tiene una velocidad de βc conjunto, la figura heat becomes : el calor se convierte en: Q = Q Q = Q 0 0 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 (36) (36) Although this formula, unquestioned for a long time, was recently Aunque esta fórmula, incuestionable durante mucho tiempo, ha sido recientemente challenged, I have, in recent years, become firmly convinced that it is impugnada, tengo, en los últimos años, convertido en la firme convicción de que es accurate exacto 4 4 , and certainly applies to the case of a small body such as a , Y ciertamente se aplica al caso de un pequeño cuerpo, como un particle. partícula. Therefore, if a particle contains in its proper frame, a quantity Por lo tanto, si una partícula contiene en su propio marco, una cantidad of heat Q de calor Q 0 0 = M = M 0 0 c c 2 2 , the heat quantity it carries in a frame in which it , La cantidad de calor que lleva en un marco en el que has velocity βc will be : ha βc velocidad será: Q = Q Q = Q 0 0 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 = M = M 0 0 c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 = hν = Hν 0 0 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 (37) (37) 4 4 See ref. Véase ref. (5b), (5c), and (5d). (5b), (5c), y (5d).
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18 18 L. de Broglie L. de Broglie The particle thus appears as being at the same time both a small La partícula, por tanto aparece como siendo a la vez una pequeña clock of frequency ν = ν reloj de la frecuencia ν = ν 0 0 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 and the small reservoir of heat y la pequeña reserva de calor Q = Q Q = Q 0 0 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 , moving with velocity βc . , Se desplazan con la velocidad βc. This identity of relativistic Esta identidad de relativista transformation formulae for a clock’s frequency and for heat, does make fórmulas de transformación para una frecuencia de reloj y por el calor, hace the double aspect possible. el doble aspecto posible. When the particle moves according to the guidance law, if the wave Cuando la partícula se mueve de acuerdo a la ley de orientación, si la ola is not plane monochromatic, the proper mass M plano no es monocromática, el buen masa M 0 0 varies according to varía en función de eq. eq. (9), if the expression for the wave is known. (9), si la expresión de la ola que se conoce. As previously seen, the Como se ha visto, la particle’s motion is governed by relativistic dynamics of a body with del movimiento de partículas se rige por la dinámica relativista de un cuerpo con variable proper mass, and this suggests a close relation between the adecuado de masa variable, y esto sugiere una estrecha relación entre la fundamental formula of relativistic thermodynamics and the guidance fórmula fundamental de la termodinámica relativista y la orientación formula. fórmula. It results from the following argument. Es el resultado de la siguiente argumentación. If φ is the wave’s phase, given by a. exp( iφ/ ), where a and φ are Si φ es la fase de la onda, por a. exp (iφ /), donde una y φ son real, the guidance theory states that : real, la teoría afirma que la orientación: ∂φ ∂ φ ∂t = ∂ t = M M 0 0 c c 2 2 √ √ 1 −β 1-β 2 2 − -- −−→ - → grad φ = grad φ = M M 0 0 v v √ √ 1 − β 1 - β 2 2 (38) (38) On the other hand the Planck-Laue eq. Por otra parte, la de Planck-Laue eq. (37) may be written : (37) puede ser escrito: Q = M Q = H 0 0 c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 = = M M 0 0 c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 − vp - Vp (39) (39) Combination of (38) and (39) then gives : Combinación de (38) y (39) da: M M 0 0 c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 = = ∂φ ∂ φ ∂t ∂ T + v. + C. −−→ - → grad φ = grad φ = dφ dφ dt dt (40) (40) but since the particle is likened to a clock of proper frequency M pero dado que las partículas se asemeja a un reloj de la frecuencia apropiada M 0 0 c c 2 2 /h , / h, the phase of its internal vibration, written as a la fase de su vibración interior, escrito como un i i exp( i.φ exp (i.φ i i / ), with a /), Con un i i and y φ φ i i real, is : real, es la siguiente: φ φ i i = hν = Hν 0 0 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 .t = M . t = M 0 0 c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 .t . t (41) (41) and therefore : y, por tanto: d ( φ d (φ i i − φ ) = 0 - Φ) = 0 (42) (42)
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Interpretation of quantum mechanics Interpretación de la mecánica cuántica ... ... 19 19 This agrees with the fundamental assumption according to which Esta de acuerdo con la premisa fundamental según la cual the particle as it moves in its wave, remains constantly in phase with it la partícula a medida que se mueve en su onda, sigue siendo constante en la fase de la misma 5 5 . . Thus, there exists a close relation between the guidance theory and Por lo tanto, existe una estrecha relación entre la teoría y la orientación relativistic thermodynamics. termodinámica relativista. This fact is even more remarkable when Este hecho es aún más notable cuando one thinks that eq. uno piensa que eq. (36), the Planck and Laue result, dates back many (36), Laue, Planck y el resultado, se remonta a muchos decades before the emergence of Wave mechanics and the double solution décadas antes de la aparición de la onda mecánica y la doble solución theory. teoría. X. The relation between action and entropy X. La relación entre la acción y la entropía Following the above arguments, another one seems natural. Tras los argumentos anteriores, otra parece natural. Relati- Relati - vistic dynamics states that the Lagrangian of a free particle with proper vistic afirma que la dinámica de Lagrange de una partícula libre con la debida mass M masa M 0 0 , and velocity βc is L = −M , Y la velocidad es βc L =-M 0 0 c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 , and that : , Y que: ∫ ∫ Ldt = − Ldt = -- ∫ ∫ M M 0 0 c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 .dt . dt (43) (43) is the action integral, an invariant quantity since M es la acción integral, desde una cantidad invariante M 0 0 c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 .dt = . dt = M M 0 0 c c 2 2 .dt . dt 0 0 , where dt , Donde dt 0 0 is the particle’s proper time element. es el momento adecuado de partículas del elemento. In agreement De acuerdo with an idea of Eddington’s some fifty years back, it is tempting to con una idea de Eddington de unos cincuenta años atrás, es tentador try and establish a relation between the two major “invariants” of tratar de establecer una relación entre los dos grandes "invariantes" de physics, Action and Entropy. la física, la acción y entropía. This however is only possible by giving the Sin embargo, esto sólo es posible por dar la action integral of eq. acción integral de eq. (43) a well defined value by a proper choice of the (43) y un valor definido a través de una adecuada elección de los integration interval. intervalo de integración. Following the preceding ideas, it is natural to choose Tras el precedente de ideas, es natural que elegir as this integration interval the period T este intervalo de integración como el período T i i of internal vibration of the interior de las vibraciones de la particle with proper mass m de partículas con una adecuada masa m 0 0 , in the reference frame where its velocity is , En el marco de referencia que su velocidad es βc . βc. Since 1 /T Desde el 1 / T i i = ( m = (M O O c c 2 2 /h ) / h) √ √ 1 − β 1 - β 2 2 , a “cyclic” action integral is defined , Un "cíclico" acción integral se define by noticing that the T por señalar que el T i i period is always very short, and therefore M período es siempre muy corto y, por tanto, M 0 0 and β may be considered as practically constant during the integration y β puede considerarse como prácticamente constante durante la integración interval. intervalo. Then defining action A by A continuación, la definición de una acción por A/h = − A / h = -- ∫ ∫ T T i i 0 0 M M 0 0 c c 2 2 √ √ 1 − β 1 - β 2 2 .dt = − . dt = -- M M 0 0 c c 2 2 m m 0 0 c c 2 2 (44) (44) and denoting the hidden thermostat’s entropy by S , there comes : y denota el termostato de la entropía oculta por S, llega: S/k = A/h S / A = k / h (45) (45) 5 5 This assumption is only valid for a fairly massive particle, so that it would Esta hipótesis sólo es válida para una partícula muy masiva, de manera que not undergo a Brownian motion due to energy exchange with the sub-quantum no someterse a un movimiento Browniano debido al intercambio de energía con la sub-cuántico medium. medio. It is not valid in the case of an electron on account of its too low No es válido en el caso de un electrón debido a su muy bajo mass. masa.
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20 20 L. de Broglie L. de Broglie where k and h are respectively the Boltzmann and Planck constants. siendo k y h, respectivamente, son las constantes de Boltzmann y Planck. Since δQ Desde δQ 0 0 = δM = ΔM 0 0 c c 2 2 , it follows that : , Se deduce que: δS = −kδQ δS =-kδQ 0 0 / ( m / (M 0 0 c c 2 2 ) ) (46) (46) An entropy has thus been given to the particle’s motion, and also a Una entropía se ha dado a la partícula de la moción, y también una probability P which by Boltzmann formula reads P = exp( S/k ). probabilidad P, que reza por Boltzmann fórmula P = exp (S / k). From Desde this I was able to derive a number a of results which may be found in este pude obtener un número de uno de los resultados que se pueden encontrar en reference [5]. referencia [5]. The most important results are to me the following : Los resultados más importantes para mí son las siguientes: 1) The Least Action Principle is only a particular case of the Second 1) El Principio de acción menos es sólo un caso particular de la Segunda Principle of Thermodynamics. Principio de la Termodinámica. 2) The privilege, which Schrodinger has underlined as paradoxical, that 2) El privilegio, que ha subrayado Schrodinger como paradójico, que the present Quantum mechanics grants to plane monochromatic la mecánica cuántica actual concede al plano monocromático waves and to stationary states of quantized systems is explained ondas estacionarias y los estados de los sistemas se explica cuantizadas by the fact that these correspond to entropy maxima ; the other por el hecho de que estos valores máximos corresponden a la entropía, y el otro states do exist, but have much reduced probability. afirma que existen, pero tienen mucho menor probabilidad. XI. XI. On the necessary introduction of a random element in Sobre la necesaria introducción de un elemento aleatorio en the double solution theory. teoría de la doble solución. The hidden thermostat and the El termostato y el oculto Brownian motion of the particle in its wave Movimiento browniano de las partículas en su onda In the above arguments, it was assumed that the particle’s motion En los argumentos anteriores, se supone que el movimiento de la partícula in its wave was entirely determined by the guidance law. en su onda es totalmente determinado por la ley de orientación. Hereafter will En lo sucesivo se be shown why this standpoint cannot be wholly conserved. se mostrará por qué este punto de vista no puede ser conservado en su totalidad. To start with, Schrodinger’s equation will be used as a good non- Para empezar, la ecuación de Schrodinger se utilizará como una buena no - relativistic approximation. aproximación relativista. In § VI it was observed as a result of the En § VI se observó como resultado de la continuity equation ( C ), that the probability of finding the particle in ecuación de continuidad (C), que la probabilidad de encontrar la partícula en a volume dτ is proportional to a un volumen dτ es proporcional a una 2 2 dτ , a being the v wave’s amplitude. dτ, una es la amplitud de la onda v. Introducing the normed statistical wave, namely ψ = Cv , means that La introducción de la normativa estadística de onda, es decir, ψ = Cv, significa que the considered probability’s absolute value is | ψ | considera la probabilidad del valor absoluto es | ψ | 2 2 , a well known result. , Un bien conocido resultado. Difficulties arise however, when such considerations are made within the Las dificultades surgen sin embargo, cuando esas consideraciones se realizan en el presently developed theory. Actualmente, la teoría desarrollada. This can be seen by examining a hydrogen Esto puede ser visto por un examen de hidrógeno atom in one of its S type stationary states. en un átomo de su tipo S estados estacionarios. The guidance formula La fórmula de orientación v = − ( v = - ( −−→ - → grad φ ) /m gives v = 0. grad φ) / m da v = 0. The electron is then at rest in one point of El electrón es en reposo en un punto de the atom, and one fails to see how the continuity relation ( C ) may justify el átomo, y uno no ve la forma en que la relación de continuidad (C) pueden justificar the probability as | φ | la probabilidad de que | φ | 2 2 dτ . dτ. This leads to complementing the relation by Esto lleva a que complementa la relación de introduction of a random element. introducción de un elemento aleatorio.
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Interpretation of quantum mechanics Interpretación de la mecánica cuántica ... ... 21 21 This difficulty looks the same as that encountered in classical Esta dificultad se ve el mismo que el encontrado en el clásico statistical mechanics where Liouville’s theorem, which yields a continuity la mecánica estadística que el teorema de Liouville, que da lugar a una continuidad formula in phase space, is not sufficient to establish that the probability fórmula en la fase de espacio, no es suficiente para establecer que la probabilidad for a representative point, a molecule in a gas, to be present in a volume un representante de punto, una molécula en un gas, para estar presentes en un volumen element of its phase space, is proportional to this volume element. elemento de su espacio de fase, es proporcional a este elemento de volumen. To Para justify this statement, one has to introduce in the molecule’s motion, justificar esta afirmación, hay que introducir en la molécula de la moción, a random element which constantly perturbs the motion. un elemento aleatorio que perturba constantemente el movimiento. Considering Considerando that this random element resulted from the collisions that each molecule que este elemento aleatorio el resultado de las colisiones que cada molécula undergoes with all the others in the gas, Boltzmann called it “molecular sufre con todos los otros en la de gas, lo llamó Boltzmann "molecular chaos”. caos ". By analogy, in the frame of double-solution theory, and in view of Por analogía, en el marco de la doble solución de la teoría, y en vista de the well known fact that the probability for a particle to be in volume dτ el bien conocido hecho de que la probabilidad de una partícula en el volumen que se dτ is | ψ | es | ψ | 2 2 dτ , a random element of hidden origin has to be admitted. dτ, un elemento aleatorio de origen oculto tiene que ser admitido. This Esto implies that the particle’s regular motion, governed by the guidance law, implica que el movimiento regular de las partículas, que se rige por la ley de orientación, is continuously submitted to random perturbations, with the result that continuamente se presentó a las perturbaciones aleatorias, con el resultado de que the particle all the time switches from one guided trajectory to another. las partículas de todo el tiempo cambia de una trayectoria guiada a otro. Taking these random perturbations into consideration, the continuity Estas perturbaciones aleatorias tomando en consideración, la continuidad equation ∂ρ/∂t +div ρv = 0 where ρ = a ecuación ∂ ρ / ∂ t + div ρv donde ρ = 0 = a 2 2 , and v is the guidance velocity, , Y v es la velocidad de la orientación, justifies the probability law | ψ | justifica la ley de probabilidad | ψ | 2 2 = a = A 2 2 . . Finally, the particle’s motion is the combination of a regular motion Por último, la partícula de la moción es la combinación de un movimiento defined by the guidance formula, with a random motion of Brownian definido por la fórmula de orientación, con un movimiento aleatorio de Browniano character. carácter. A simple comparison explains the possibility of such a super- Una simple comparación explica la posibilidad de una super - position of motions. posición de las mociones. Consider a fluid’s hydrodynamical flow. Considere la posibilidad de un flujo fluido de hydrodynamical. If placed Si se colocan on the surface of the fluid, a granule will move along with it. en la superficie del líquido, un gránulo se desplazará a lo largo de la misma. If this Si este granule is massive enough, so that the action of collisions with the flui- gránulo es bastante masiva, a fin de que la acción de las colisiones con los flui - d’s individual molecules has no visible effects, it will follow the lines of s de moléculas individuales no tiene efectos visibles, que seguirá las líneas de the hydrodynamical current flow, which may be compared with the gui- hydrodynamical el flujo de la corriente, que puede compararse con la gui - dance trajectories. las trayectorias de baile. But if the granule’s mass is small enough, its motion Pero si el gránulo de la masa es lo suficientemente pequeño, la propuesta will constantly be perturbed by individual collisions with the fluid’s mo- ser perturbado constantemente por los choques con el líquido de la mo - lecules. lecules. It will move according to both the regular motion following a Se mueven de acuerdo a los periódicos a raíz de una moción current line of the general flow, and the Brownian motion, which will línea actual de la corriente general, y el movimiento Browniano, que se force it to switch constantly from one current line to another. obligarlo a cambiar constantemente de una a otra línea actual. An image Una imagen is thus obtained of a random motion’s superposition over the regular así obtenido es de un movimiento aleatorio de la superposición en los periódicos motion, similar to the one advanced for a particle. moción, similar a la avanzada de una partícula. In the above hydrodynamical comparison, the ensemble of all invi- En el anterior hydrodynamical comparación, el conjunto de todos los invita - sible molecules does play the part of the hidden thermostat. moléculas hace posible el papel de la oculta termostato. This latter Este último by its continued interaction with the granule gives it a Brownian mo- por su continua interacción con el gránulo browniano le da un mo - tion according to a well known concept of statistical thermodynamics. ción de acuerdo con un concepto bien conocido de la termodinámica estadística. However, in the case of a particle which does not appear as subjected Sin embargo, en el caso de una partícula que no aparece como objeto
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22 22 L. de Broglie L. de Broglie to perturbations, such as an electron in a hydrogen atom, what could a las perturbaciones, como un electrón de un átomo de hidrógeno, lo que podría be the origin of these assumed perturbations ? ser el origen de estas perturbaciones asumido? To answer this question, Para responder a esta pregunta, any particle, even isolated, has to be imagined as in continuous “ener- cualquier partícula, incluso aisladas, tiene que ser imaginada como en el continuo "energías getic contact” with a hidden medium, which constitutes a concealed getic contacto "con un medio oculto, lo que constituye una oculta thermostat. termostato. This hypothesis was brought forward some fifteen years ago Esta hipótesis se adelantó hace unos quince años by Bohm and Vigier [6], who named this invisible thermostat the “sub- por Bohm y Vigier [6], quien bautizó este invisibles termostato el "sub - quantum medium”. medio cuántica ". As a further assumption, the particle is considered Como una nueva hipótesis, las partículas se considera as continuously exchanging energy and momentum with such a hidden como el intercambio continuo de energía y el impulso con una escondida thermostat. termostato. These exchanges would happen regularly, in a well defined Estos intercambios se suceden regularmente, en un lugar bien definido manner, if the guided motion existed alone, but a random energy ex- manera, si el movimiento guiado existía, sino que un azar de energía ex - change is superposed, which has a fluctuation character of well known cambio superpuestos, que tiene carácter de una fluctuación muy conocido kind in statistical thermodynamics. tipo en la termodinámica estadística. If a hidden sub-quantum medium is assumed, knowledge of its Si un sub-cuántico oculto medio se supone, el conocimiento de su nature would seem desirable. naturaleza sería deseable. It certainly is of quite complex character. Sin duda es de carácter muy complejo. It could not serve as a universal reference medium, as this would be No podía servir como un medio universal de referencia, ya que esto sería contrary to relativity theory. contrario a la teoría de la relatividad. Moreover, it does not behave as a unique Además, no se comportan como una única thermostat, but rather as an ensemble of thermostats, the temperatures termostato, sino más bien como un conjunto de termostatos, las temperaturas of which are related to the proper energies M de los cuales están relacionados con el buen energías M 0 0 c c 2 2 of various kinds of de diversos tipos de molecules. moléculas. Although interesting explanations have been proposed for Aunque interesantes explicaciones se han propuesto para this sub-quantum medium’s nature, it seems premature to discuss the este sub-cuántico medio de la naturaleza, parece prematuro debatir la problem in the present paper. problema en el presente documento. XII. XII. Conclusion Conclusión Such is, in its main lines, the present state of the Wave mechanics Tal es, en líneas generales, el estado actual de la onda mecánica interpretation by the double-solution theory, and its thermodynamical interpretación de la teoría doble solución, y su termodinámico extension. extensión. I think that when this interpretation is further elaborated, Creo que esta interpretación es cuando con más detalle, extended, and eventually modified in some of its aspects, it will lead to a ampliado, y eventualmente modificado en algunos de sus aspectos, que dará lugar a una better understanding of the true coexistence of waves and particles about mejor comprensión de la verdadera convivencia de las ondas y partículas sobre which actual Quantum mechanics only gives statistical information, La mecánica cuántica actual que sólo proporciona información estadística, often correct, but in my opinion incomplete. frecuencia correcta, pero en mi opinión incompleta. References Referencias [1] a) CR Acad. [1] a) CR Acad. Sciences Paris, 177, 506, 548, 630 (1923). Ciencias de París, 177, 506, 548, 630 (1923). b) Doctorate Thesis (Paris 1924), 2nd. b) Tesis de Doctorado (París 1924), 2do. ed. ed. Masson Paris (1963). Masson, París (1963). [2] Journ. [2] Journ. de Phys. 5, 225, (1927). de Phys.. 5, 225, (1927). [3] a) Une interpretation causale et non-lineaire de la mecanique on- [3] a) Una interpretación causale y no lineaire de la Mecanique en dulatoire : la theorie de la double solution. Gauthier-Villars, Paris dulatoire: la Theorie de la doble solución. Gauthier-Villars, París (1956) English translation Amsterdam (1960). (1956) Inglés traducción de Amsterdam (1960).
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Interpretation of quantum mechanics Interpretación de la mecánica cuántica ... ... 23 23 b) La theorie de la mesure en mecanique ondulatoire. Gauthier- b) La Theorie de la medida en Mecanique ondulatoire. Gauthier - Villars Paris (1957). Villars París (1957). c) Etude critique des bases de l’interpretation usuelle de la mecani- c) Estudio de las bases de la crítica de la interpretación usuelle de la mecani - que ondulatoire. Gauthier-Villars Paris (1963). que ondulatoire. Gauthier-Villars París (1963). English translation Traducción Inglés Amsterdam (1964). Amsterdam (1964). d) Ondeselectromagnetiques et photons. Gauthier-Villars Paris d) Ondeselectromagnetiques y fotones. Gauthier-Villars París (1968). (1968). e) Journ. e) Journ. de Phys. 20, 963, (1959). de Phys.. 20, 963, (1959). f) Journ. f) Journ. de Phys. 28, 481, (1967). de Phys.. 28, 481, (1967). g) Certitudes et incertitudes de la science. Albin Michel Paris (1966). g) incertitudes y certezas de la ciencia. Albin Michel, París (1966). [4] a) F. Fer, Doctorate Thesis, Bureau de Documentation Mini`ere, [4] a) F. Fer, Tesis de Doctorado de la Oficina de Documentación Mini ere », Paris (1957). París (1957). b) M. Thiounn, Doctorate Thesis, Cahiers de Physique, n 174, b) M. Thiounn, Tesis de Doctorado, Cahiers de Physique, n 174, (1965). (1965). CR Acad. CR Acad. Sciences Paris, B 262, 657, (1966). Ciencias de París, 262 B, 657, (1966). Portugaliae Portugaliae Phys. 4, 208, (1966). Phys.. 4, 208, (1966). [5] a) La thermodynamique de la particule isolee (ou la thermodyna- [5] a) La thermodynamique de la Particule Isolee (ou la thermodyna - mique cachee des particules). Gauthier-Villars Paris (1964). mique cachée de partículas). París, Gauthier-Villars (1964). b) Int. b) Int.. Journ. Journ. Theor. Theor. Phys. 1, 1, (1968). Phys.. 1, 1, (1968). c) Ann. c) Ann. Inst. Inst. Henri Poincare, 1, 1, (1964). Henri Poincaré, 1, 1, (1964). d) Ann. d) Ann. Inst. Inst. Henri Poincare, 9, 89, (1968). Henri Poincaré, 9, 89, (1968). [6] D. Bohm, JP Vigier, Phys. [6] D. Bohm, JP Vigier, Phys.. Rev. 96, 208, (1954). Rev. 96, 208, (1954). [7] La reinterpretation de la mecanique ondulatoire. Gauthier-Villars [7] La reinterpretación de la Mecanique ondulatoire. Gauthier-Villars Paris (1971). París (1971).
Texto original en inglés:
where k and h are respectively the Boltzmann and Planck constants.